千斤頂與壓力表校驗(yàn)張拉力與表值回歸分析
詳細(xì)論述了千斤頂與壓力表校驗(yàn)張拉力與表值回歸分析法。
規(guī)范規(guī)定，預(yù)應(yīng)力混凝土用千斤頂與壓力表的 定期檢測(cè)時(shí)，兩者應(yīng)視為一個(gè)單元，同時(shí)校驗(yàn)，配套 校驗(yàn)，其目的為確定千斤頂張拉力（kN)與壓力表讀 數(shù)（MPa)之間的關(guān)系曲線。校驗(yàn)單位用標(biāo)準(zhǔn)測(cè)力儀 對(duì)千斤頂進(jìn)行力值校驗(yàn)，得出壓力表讀數(shù)值（以下 簡稱表值）和與其對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)力儀顯示值（下簡 稱力值）。以某頂號(hào)為2013，表號(hào)為7707的校驗(yàn)數(shù) 據(jù)為例，進(jìn)行回歸分析，以揭示由實(shí)驗(yàn)檢測(cè)結(jié)果反映 物理量力值與表值之間關(guān)系的內(nèi)在規(guī)律，并找出它 們之間的定量表達(dá)式-回歸方程。
1.回歸分析
實(shí)驗(yàn)已證明，千斤頂拉力值與壓力表讀數(shù)值之 間回歸關(guān)系是一元線性回歸，也可以從散點(diǎn)圖觀察 得知。我們根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，找出千斤頂拉力（設(shè) 為y)和表值(設(shè)為x)兩個(gè)變量間的經(jīng)驗(yàn)公式：
y = b +ax (1)
(1)式就叫做y對(duì)x的回歸線（也就是回歸方程)
由于建立兩個(gè)變量間直線關(guān)系的方法有多種， 所以不同人，用不同方法，所得到的系數(shù)a、b可能不 同。下面介紹建立兩個(gè)變量y、x之間直線關(guān)系式的 幾種常用方法，供大家參考和比較使用。
(1)作圖法:以表1值為例 在坐標(biāo)紙上作圖，以橫坐標(biāo)代表表值，以縱坐標(biāo) 代表力值，將表1中10對(duì)測(cè)試值繪于圖，可得10個(gè) 點(diǎn)，通過10點(diǎn)劃過一直線使兩邊分布均勻，這條直 線表示y = b + ax，就是力值與表值的相關(guān)式，延長
直線使之與縱坐標(biāo)y軸相交，這個(gè)交點(diǎn)至零點(diǎn)（坐標(biāo) 原點(diǎn)）的距離即為截距b值，直線與x軸交角a的 正切，即為斜率，斜率a = tgx =Ay/Ax。以表1值求 a值，可以量取圖上Ay、Ax長度，也可量a角，也可 選任意兩點(diǎn)計(jì)算，如表1的第2和第8組計(jì)算： a=Ay/Ax= (821. 8 - 126. 4) /(42 - 6) =695. 4/36 =19. 32
b =0(第 1 組 x = 0，y =0) 這時(shí)力值與表值的關(guān)系式 y =b +19. 32x (2)
值得注意的是用作圖法求兩個(gè)變量之間直線經(jīng) 驗(yàn)公式時(shí)，特別要注意b與a的正負(fù)號(hào)，當(dāng)因變量y 隨自變量x增大而增大，或隨x值減小而減小時(shí)則 斜率為正號(hào)，反之為負(fù)值，其相關(guān)系數(shù)Y可用后面 將介紹的簡易近似法求得，本例：丫 = - cos(10/10) n =1
（2）選點(diǎn)法
先將力值與表值重新按大小次序排列（本例已 按大小順序排列），在10對(duì)測(cè)試值中大小向兩端任 選一對(duì)測(cè)試值，建聯(lián)立方程: y1 =b + ax[ y2 =b + ax,
如選第2對(duì)和第8對(duì)測(cè)試值，解聯(lián)立方程 126. 4 =b +a >6 821. 6 =b +a X42 求得 b =1. 05 a = 19. 3166
則相關(guān)關(guān)系式為：y = 1. 05+19. 3116x (3)
（3）平均法
把各組值按大小排列，再分成前5對(duì)為一組，后 5對(duì)為另一組，求出兩組測(cè)試值x和y的算術(shù)平均 值，x和y。
第 1 組 X1 =60. 1 yi =1190. 1
第 2組 X2 =208. 0 =4067. 8
解聯(lián)立方程1190. 1 =b +60a
4067. 8 = b +208a
得 a = 19. 443, b =2. 36
就可得出直線關(guān)系式：y=2 36 +19. 443x (4)
(4)最小二乘法
最小二乘法原理是使各測(cè)得值與統(tǒng)計(jì)所得到的 關(guān)系直線間的誤差平方和為最小,這是一種常用的 統(tǒng)計(jì)方法。
計(jì)算結(jié)果a = 19. 426, b =5. 15,相關(guān)關(guān)系式為y =5. 15 +19. 426x (5)
上述4種求直線方程的方法都可應(yīng)用，比較4 種方法得出的關(guān)系式可以看出，b值相差多,而a值 相近,所以相差不是很大,下面任選幾組值代入進(jìn)行 粗略檢驗(yàn),如選第6組實(shí)測(cè)值：
以 x = 30代入(2)y =0 +19. 32 X30 =579. 6,其 與實(shí)驗(yàn)‘真值” = 589. 3,誤差為1. 6%。
以 x = 30代入（3)得出 y = 1. 05+19. 3116 X30 = 580. 5,其與實(shí)驗(yàn)真值”y =589. 3,誤差為1. 5%。
以 x = 30代入（4)得出 y=2. 36 + 19. 44 X30 = 585. 6,其與實(shí)驗(yàn)真值”y = 589. 3,誤差為0. 6%。
以 x = 30代入（5)得出 y=5. 15 + 19. 426 X30 = 587. 8,其與實(shí)驗(yàn)“真值” y = 589. 3,誤差為 0. 25%。
由于這4種方法求得的相關(guān)系數(shù)都近似于1。 利用表1數(shù)據(jù)不用求相關(guān)回歸方程,直接內(nèi)插更為 方便準(zhǔn)確,這也是規(guī)范不要求必須求回歸方程,而檢 測(cè)單元也提示“對(duì)所需要的負(fù)荷點(diǎn),可通過內(nèi)插法 求得的原因。
2.線性回歸方程的效果檢驗(yàn)
(1)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn):在實(shí)際工作中,只有當(dāng)x和 y之間存在某種線性關(guān)系,所配出的直線才有意義。 檢驗(yàn)回歸線有無意義。數(shù)學(xué)上引進(jìn)相關(guān)系數(shù)T這 個(gè)量，Y的絕對(duì)值越接近1, x與y的線性關(guān)系越好， 如果T接近于0,則認(rèn)為x與y之間沒有線性關(guān)系， 但不排除x與y之間有非線性關(guān)系，T的正負(fù)號(hào)取 決于回歸線斜率a的符號(hào),對(duì)所分析的自變量x和 因變量y,只有當(dāng)相關(guān)系數(shù)Y的絕對(duì)值大于一定程 度,才可能用回歸線來表示他們之間的關(guān)系,這要通 過‘相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表”檢驗(yàn),表中數(shù)叫做相關(guān)系數(shù)起 碼值,只有求出相關(guān)系數(shù)大于表中數(shù),才能考慮用直 線來表述x與y的關(guān)系，‘相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表”一般數(shù) 理統(tǒng)計(jì)書中都有,今摘錄如表2。
可以看出測(cè)試的組越多,起碼值越小,某標(biāo)千斤 頂與壓力表值得相關(guān)系數(shù)Y遠(yuǎn)大于表2的起碼值 0. 632和0. 765,說明直線關(guān)系數(shù)非常明顯、密切,這 也是檢測(cè)單元說明中不用求回歸方程,可直接用內(nèi) 插法求解的依據(jù)。
(2)回歸方程效果檢驗(yàn)
前面已述，回歸方程在一定程度上反映兩個(gè)量 之間的內(nèi)在規(guī)律,但在求出回歸方程后,如何利用 它,根據(jù)自變量x的取值來控制因變量y的取值,以 及控制精度如何等,都是我們所要關(guān)心的。確定a、 b的數(shù)值后建立了方程，yt =b + ax；從公式中知道對(duì) 每個(gè)給定的自變量&值就有兩個(gè)y；值,即實(shí)測(cè)值y； 和推定值（或稱預(yù)測(cè)值、估計(jì)值）y;',他們之間誤差 A =y； -y；。(上面幾種回歸分析,我們已舉例算出 代表點(diǎn)的誤差）所以有必要進(jìn)行線性回歸方程的效 果檢驗(yàn)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論已證明標(biāo)準(zhǔn)差愈小，回歸方 程預(yù)報(bào)的值愈精確(按正態(tài)分布有95. 4%的y值落 在y=b ±2s + ax之間，本例樣本標(biāo)準(zhǔn)差Sx = 1. 784)。
綜上所述,通過回歸分析、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢 驗(yàn)和回歸方程的檢驗(yàn),可知實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與回歸方程的 相關(guān)密切程度,主要由相關(guān)系數(shù)T來判斷，T愈接近 于1,說明相關(guān)愈密切。對(duì)回歸方程所揭示的規(guī)律 性是否明顯,以標(biāo)準(zhǔn)差s來表示,s愈小,說明回歸方 程預(yù)報(bào)越精確,反之亦然。
應(yīng)該指出,在實(shí)際問題中,有時(shí)自變量和因變量 之間不一定是線性關(guān)系,而可能是某種非線性關(guān)系， 這類非線性問題可以通過變量變換,轉(zhuǎn)化為線性回 歸模型來解決,本例千斤頂拉力和壓力表值關(guān)系用 一元回歸分析計(jì)算,這只是線性回歸中最簡單的情 況,在絕大多數(shù)實(shí)際問題中,影響因變量的因素往往 不止一個(gè),而是多個(gè),這就需要用多元回歸分析來解 決,而多元回歸分析原理與一元回歸分析基本相同， 只是計(jì)算上復(fù)雜一點(diǎn)，實(shí)際操作上,二元回歸問題， 只要借用簡單計(jì)算器就可以輕易地建立二元回歸方 程，y = a+b?x +cx；,同時(shí)求得復(fù)相關(guān)系數(shù)R。
3.相關(guān)系數(shù)簡易、近似求法
將U,y;)多組值在平面上作圖（圖1),作垂線 A將點(diǎn)子左右均分,再作水平線B將點(diǎn)子上下均分，
盡量使A、B線上無點(diǎn),若右上,左上、左下、右下點(diǎn) 數(shù)分別為 n ,巧，巧，nt,則 了 = - cos[ (n +n,) / S n ] n。
本例 n =5, n, =n, =0, n, =5 Y = - cos[ (n + n,) /6n]n = - cos[ (5 + 5) /
10]宂=1
至于因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)T小于某個(gè)值如0. 9999應(yīng) 進(jìn)行“單點(diǎn)值標(biāo)定”要弄清這個(gè)要求是否有必要， 本人認(rèn)為應(yīng)首先弄清以下幾點(diǎn)：
（1）何為“單點(diǎn)值標(biāo)定”單點(diǎn)值是否理解為因 為檢定時(shí)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)力儀顯示值與壓力表讀數(shù)值,線性 回歸，T不符合要求,就采用視需要的各張拉值,確 定對(duì)應(yīng)的表標(biāo)值做梁張拉時(shí)控制的依據(jù),這種做法 實(shí)際上是說校準(zhǔn)檢驗(yàn)時(shí)，x、y回歸上存在大的誤差， 使得相關(guān)系數(shù)T不符合要求,實(shí)際上回歸分析對(duì)不 同點(diǎn)數(shù)n,有不同檢驗(yàn)起碼值要求。例如:只有3個(gè) 點(diǎn)，P = 1時(shí)T =0. 9999也是不符合直線回歸條件 的。單點(diǎn)標(biāo)定必須保證誤差不能出現(xiàn)在單點(diǎn)值上， 這種做法等于放棄保證率可達(dá)95%以上數(shù)理統(tǒng)計(jì) 法,而采用保證率只有50%單點(diǎn)計(jì)算法。
（2）“單點(diǎn)值標(biāo)定”在梁片張拉時(shí)的適用性 單片梁張拉至少要單點(diǎn)標(biāo)定10% (Tk、20% (Tk和100% ^k三個(gè)點(diǎn),而一個(gè)制梁場梁片有多種,就得每 一種梁都在這個(gè)千斤頂、壓力表上有三個(gè)校準(zhǔn)值,這 些孤立點(diǎn)間是否也要有建立相關(guān)系數(shù)的必要？
（3）標(biāo)定時(shí),標(biāo)準(zhǔn)測(cè)力儀顯示值準(zhǔn)確到百分位, 壓力表讀數(shù)值為整數(shù)位,也就是說表值保留有一位 可疑數(shù)字,即有±1個(gè)單位（MPa)誤差。
我們?cè)囎鲆韵掠?jì)算,將最小二乘法得到的回歸 方程y = 5. 15 +19. 426x,用y的計(jì)算值y=587. 8代 入求x = 29. 9933MPa,而單點(diǎn)x真值x = 30,誤差A(yù) =30 - 29. 9933 =0. 0067 (MPa),這與檢定表值誤差 0. 5MPa相差兩個(gè)數(shù)量級(jí),而且0. 0067MPa這個(gè)值 在壓力表上根本反應(yīng)不出來(表刻度值為1MPa)。
